Curbas cubicas paramétricas

Las curvas cubicas paramétricas son las de menor grado que no son planas en 3D. Los tres coeficientes de un polinomio de segundo grado pueden estar completamente especificados por tres puntos y tres puntos definen a un plano.

Los polinomios cúbicos que definen un segmento de cuva Q(t)=[x(t) y(t) z(t)] sonde la forma:

figura 01

Cada polinomio cubico tiene cuatro coeficientes, por lo que se requieren cuatro restricciones, que nos permitan formular cuatro ecuaciones en las cuatro incognitas y poder resolver el sistema de ecuaciones.

Las curbas que se discutiran son:
- Hermite
- Bezier
- Otros splines

* Hermite usa los punots terminales y los rectores tengente enlos puntos terminales

figura 02

* Bezier, esta definido por los dos puntos temrinales y otros dos puntos de control que controlan a los vecotes gtangente en lospuntos terminales

figura 03


Para ver como os coeficientes de la ec (1) pueden depender de cuatro restricciones, se escribe la matriz de coeficientes como

C = M.G
Donde M es la matriz base y G es un vector columna de cuatro elementos de las condiciones, tales como los puntos termianles y los vectores tangente , que definen a la curva.
Se usara G. para referirse al vector columna de solo los componentes x del vector de geometria.

Q(t) = T.C
4x3

C = M.G

Los elementos de M y G son constantes, de forma qeu el produto T.M.G es justo los tres polinomios cubicos en t
Q(t) = [x(t) y(t) z(t)]

figura 04

esta ecuacion enfatiza que la curva es una suma ponderada de los elementos de la matriz de geometria

B = T.M funciones mezcla (blending functions)


Splines Hermite
La curva esta determinada por los puntos terminales P1 y P4 y los vectores tangente R1 y R4 a los puntos teminales.
Tenemso que halar la matriz base Mh

Q(t) = T.Mh.Gh

Gh es el vector de geometria Hermite tomando su componente en x:

figura 05 (1)

figura 06 (2)

Las restricciones sobre x(0) y x(1) pueden encontrarse por sustitucion directa en la ec. (2).

figura 07